# Mathematische und Statistische Verfahren

## Übersicht

Häufigkeitsstatistik

Bayes'sche Statistik

Hat theoretisch viele Anwendungsmöglichkeiten in Archäologie:

Aber z.B. bisher nur bei 14C, Wiggle matching und Sequencing benutzt.

Vorstellbar aber auch Datierung von Fundkomplexen etc. durch Seriation verknüpft mit Vorwissen (Prior).

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Häufigkeitsstatistik (Frequentism)

- Monovariate Verfahren

- Deskriptive Statistik
- Statistische Maßzahlen
- Wahrscheinlichkeit
- Statistische Tests
- Korrelation und Regression

- Multivariate Verfahren

- Lineare Algebra
- Faktorenanalyse
- Klassifikation

- Diskriminanzanalyse
- numerische Taxonomie

- Neue Verfahren

- Fuzzy-Logik

# Monovariate Verfahren

## Deskriptive Statistik

Bei der deskriptiven Statistik werden grundlegende Parameter beschrieben, wie zum Beispiel Häufigkeiten.

Ein Bespiel aus der Archäologie: Es wird die Verteilung von Beigaben in Gräbern auf die Geschlechter untersucht, Problem der geschlechtsspezifischen Beigaben.

## Statistische Maßzahlen

### Arithmetisches Mittel oder Mittelwert

In der Anthropologie werden oft Mittelwerte von Populationsgruppen angegeben und miteinander verglichen. Das ist jedoch prinzipiell falsch, wenn man nicht auch die Abweichung vom Mittelwert berücksichtigt: Eine Population von Menschen mit mittellangen Schädeln kann denselben Mittelwert bezüglich der Schädellänge haben wie eine Mischpopulation aus kurz- und langschädeligen Gruppen, lediglich die Abweichung vom Mittelwert zeigt die Unterschiede auf.

### Variationsbreite, Varianz und Standardabweichung

## Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl von 0 bis 1. Ereignisse oder Zusammenhänge sind mehr oder weniger wahrscheinlich.

## Statistische Tests

Hier wird überprüft, ob ein Ereignis wahrscheinlich ist oder nicht.

Anwendungsbeispiel: Untersuchung, ob eine Verteilung auf einem Gräberfeldplan zufällig ist oder nicht.

## Korrelation und Regression

Der Begriff der Korrelation stammt aus der Scholastik und bezeichnet die Abhängigkeit zweier Erscheinungen, die jede als Funktion der anderen variiert. In der Statistik bezeichnet man zwei Größen x und y dann als korreliert, wenn einem großen x ein großes y entspricht und umgekehrt (positive Korrelation) oder einem großen x ein kleines y und umgekehrt (negative Korrelation).

Beispiel: Im einzelnen hat schon lange eine positive Korrelation zwischen der Größe der Eltern und der ihrer Nachkommen einen Hinweis auf die Erblichkeit metrischer Merkmale gegeben. Bei der Untersuchung ihrer Gesetze entdeckte der Begründer der Biometrie, Francis Galton (1822-1911), dass die Söhne großer Eltern im Durchschnitt kleiner, die Söhne kleiner Eltern im Durchschnitt größer als diese waren, also ein Rückschritt (engl. regression) auf den Bevölkerungsdurchschnitt erfolgt war.

# Multivariate Verfahren

## Lineare Algebra

Lineare Algebra lässt sich ohne großen Aufwand mittels der Begriffe der Geometrie n-dimensionaler Räume erklären. Tatsächlich ist die Sprache in Analogie zum Dreidimensionalen in der Absicht geschaffen worden, auf diese Weise das Höherdimensionale durch Analogie unmittelbar zu veranschaulichen.

Grundbegriffe dazu sind Menge, Abbildung und Funktion.

## Faktorenanalyse

Bei der Faktorenanalyse versucht man eine große Anzahl von Variablen in der Art und Weise auf einige wenige sogenannte Faktoren zu reduzieren, dass durch diese Faktoren die Gesamtpopulation beschreibbar ist. Die Faktoren können dann ungleich besser als die Vielzahl der Variablen zur Interpretation herangezogen werden.

## Klassifikation

Unter Klassifikation versteht man sowohl die Zuordnung eines Objektes zu einer von mehreren bekannten Populationen als auch das Auffinden von a priori unbekannten Gruppen in einer inhomogenen Stichprobe. Ersteres wird von der Diskriminanzanalyse geleistet, letzteres von der numerischen Taxonometrie.

### Diskriminanzanalyse

Hier geht es also vor allem darum, einzelne Objekte oder Individuen bekannten Gruppen zuzuordnen:

Ein einfaches Beispiel aus der Anthropologie: Zuordnung von Individuen zum Geschlecht männlich oder weiblich.

Ein einfaches Beispiel aus der Klassichen Archäologie: Terra Sigillata-Scherben sollen Werkstätten zugeordnet werden.

### numerische Taxonometrie

Die numerische Taxonometrie ist ein Verfahren einzelne Individuen, die durch eine Reihe von Merkmalen oder Maßen bestimmt sind, in (vorher nicht bekannte) Gruppen zu unterteilen.

Besonders beschäftigen sich damit Cluster-Analysen:

Es können zwei Arten von Verfahren unterschieden werden:

#### Monothetisch oder Polythetische Vefahren:

Monothetisch heißt, dass zunächst die Gruppenbildung nur auf einer Variable beruht. Erst dann wird eine weitere Variable zur Aufteilung der Individuen herangezogen, die bei der ersten Variablen gleich waren. U.s.w.

Bei einer polythetischen Clusteranalyse werden alle Variablen gleichzeitig in gleicher Weise benutzt.

#### Agglomerative und divisive Verfahren:

Bei ersterem wird von den einzelnen Individuen ausgegangen, es werden die ähnlichsten zusammengefasst, u.s.w. Dabei ergibt sich ein so genanntes Dendrogramm. Siehe Abb. Dendrogramm der Sozialstrukturen des frühbronzezeitlichen Gräberfeldes von Gemeinlebarn aufgrund der Bestattungssitten.

Bei den divisiven Verfahren geht man von der Gesamtpopulation aus und teilt sie zunächst in zwei Gruppen. Diese Gruppen werden später in weitere unterteilt.

## Fuzzy-Logik

Fuzzy-Systeme sind eine Alternative zur traditionellen Darstellung von Mengenzugehörigkeit und Logik, die ihren Ursprung in der alten griechischen Philosophie haben und ihre Anwendungen an der Spitze der Künstlichen Intelligenz. Dennoch, trotz ihrer alten Wurzel, ist Fuzzy-Logik ein relativ neues Feld mit vielen Möglichkeiten zur Weiterentwicklung.